Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия. Граничные условия третьего рода

Вторая заметка посвящена обсуждению задания граничных условий третьего рода на гранях прямоугольной области моделирования и содержит описание алгоритма учета граничных условий 1-го и 3-го родов, заданных на различных гранях.

Прежде чем перейти к обсуждению используемой схемы Дугласа – Рекфорда, следует коротко остановиться на другой схеме метода переменных направлений – двумерной конечно-разностной схеме Писмана – Рекфорда.

Корректный учет промежуточных граничных условий первого и второго родов для схемы Писмана – Рекфорда был подробно рассмотрен в [1]. Существенное отличие трехмерной схемы Дугласа – Рекфорда от двумерной схемы Писмана – Рекфорда состоит в том, что в последнюю из упомянутых схем пространственные координаты входят симметрично. Таким образом, второе уравнение схемы Писмана – Рекфорда содержит конечно-разностные представления производных для обеих пространственных координат. Этот факт обусловливает громоздкость вывода соотношения между значениями неизвестной функции на различных гранях – см. детали в [1].

Несмотря на то, что схема Дугласа – Рекфорда спроектирована для трехмерной пространственной области, учет промежуточных граничных условий 3-го рода оказывается для нее более простым благодаря несимметричному вхождению производных по пространственным координатам в выражения (1) – (3):

, (1)
Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия

Для решения многомерных задач, приводящих к уравнениям в частных производных параболического типа, широкое применение получил метод переменных направлений (ADI – alternate directions implicit method) [1]. Несмотря на то, что метод имеет давнюю историю и хорошо описан в учебной литературе, попытки его реализации порой оказываются неверными или неточными [2]. Неточность проявляется тогда, когда при учете граничных условий пренебрегается их задание на промежуточных временных шагах. Это пренебрежение может становиться причиной возникновения неустойчивостей даже в том случае, когда сама используемая схема является безусловно устойчивой по спектральному признаку [3]. Тому, как производить корректный учет промежуточных граничных условий для схемы Писмана - Рекфорда (Peaceman-Rachford), посвящены соответствующие разделы в [4, 5].

Ниже мы рассмотрим учет промежуточных граничных условий для схемы переменных направлений Дугласа - Рекфорда (Douglas-Rachford) [3]:
, (1) 
, (2) 
, (3) 
Читать далее