Конвективное слагаемое в схеме Дугласа – Рекфорда

1. Введение

При моделировании тепловых полей в грунте необходимо учитывать конвективный теплообмен, т.е. перенос тепла посредством переноса вещества. В грунте конвективный теплообмен происходит из-за наличия фильтрационных процессов, причиной которых, например, являются метеорологические осадки. Распределение температуры описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, в котором, в случае наличия конвекции, присутствует, так называемое, конвективное слагаемое. Ввиду произвольности формы расчетной области уравнение теплопроводности решают численно, например, конечно разностными методами. Одним из таких методов является схема переменных направлений Дугласа – Рекфорда. Модификации данной схемы при наличии конвекции в расчетной области посвящена настоящая заметка.

Читать далее

Реализация метода переменных направлений с использованием технологии CUDA

1. Введение

В настоящей заметке демонстрируется возможность выполнения расчетов на видеокартах (с применением технологии CUDA) при моделировании физических процессов и явлений на примере решения трехмерного уравнения теплопроводности. Приведен сравнительный анализ скорости расчетов на центральном (CPU) и графическом (GPU) процессорах.

2. Описание схемы Дугласа-Рекфорда

При математическом моделировании распространения тепла с учетом фильтрации и фазовых превращений применяется следующее уравнение теплопроводности:

(1)   \begin{equation*}  C_{ev}\frac{\partial T}{\partial t}+\bigtriangledown{(-k\bigtriangledown{T})}+C_w\vec{v}\bigtriangledown{T}-Q=0 \end{equation*}

Физический смысл коэффициентов, участвующих в уравнении (1), приведен в таблице 1.

Читать далее

Квазилинейное уравнение теплопроводности в 3D и задача Стефана в вечномерзлых грунтах в рамках конечно-разностной схемы переменных направлений

Оригинал статьи на английском языке можно прочитать на сайте Международной ассоциации инженеров.

Аннотация — Произведено исследование квазилинейного уравнения теплопроводности, в котором теплопроводность и теплоемкость зависят от температуры в трех пространственных измерениях, применительно к задаче о фазовом переходе в вечномёрзлых грунтах. Явно сформулированы условия, при которых конечно-разностная схема переменных направлений Дугласа-Рекфорда сохраняет устойчивость. Произведено сравнение полученных численных решений с известным аналитическим решением задачи Стефана в одномерном пространстве.

Ключевые слова — квазилинейное уравнение теплопроводности, задача Стефана, конечные разности, схема переменных направлений, численная устойчивость.

I. Введение

Со времени своих первых формулировок, неявные методы переменных направлений (ADI) были достаточно хорошо разработаны и нашли широкое применение в разных областях. Тем не менее, серьёзные проблемы возникают с использованием этих методов в задачах со сложными геометриями расчетной области и/или с нелинейными уравнениями математической физики.

Хотя и доказано, что ADI методы являются эффективными и экономичными в отношении временных затрат, и, в большинстве случаев, безусловно устойчивыми, они обладают некоторыми недостатками:

1) Их конечно-разностные формулировки позволяют рассматривать только прямоугольные пространственные области (из-за требований коммутативности, накладываемых на факторизованные и расщепленные операторы) [7];

2) Применение ADI схем к задачам с изменяющимися во времени граничными условиями Неймана и Робина сталкивается с серьезными проблемами из-за необходимости определения этих граничных условий на промежуточных этапах схемы [8];

3) При применении к решению нелинейных уравнений теплопроводности, операторы, составляющие ADI схему, не коммутируют, что приводит к потере безусловной устойчивости схемы.

Первый из указанных выше недостатков можно преодолеть либо с помощью метода конечных элементов в сочетании с методами расщепления операторов, либо методами декомпозиции расчетной области.

Второй и третий недостатки представляют серьёзную проблему для успешного применения ADI схемы. Насколько нам известно, в настоящее время в литературе отсутствует анализ устойчивости схемы ADI применительно к нелинейному уравнению теплопроводности в трёхмерной пространственной области. Этот факт явился одним из оснований для настоящей работы.

Другой причиной для написания настоящей работы является применение ADI схемы к моделированию теплообмена в крупномасштабных экологических системах (например, для больших площадей многолетнемерзлых грунтов), которые в случае чисто явных конечно-разностных схем, накладывают жесткие ограничения на временной шаг для того, чтобы гарантировать устойчивость численного решения.

В то же время, реализация неявных схем зачастую приводит к гораздо большим вычислительным затратам, чем явные схемы, особенно для задач с быстро изменяющимися коэффициентами в сложных геометриях и существенно неоднородных сетках. Таким образом, при моделировании теплообмена в крупномасштабных системах возникает необходимость осуществления оптимального выбора между явными и неявными схемами. В случае метода конечных элементов, применительно к моделированию процессов в вечномерзлых грунтах, анализ численной устойчивости, кажется, настолько сложным, что критерий устойчивости часто устанавливается эмпирически [9].

В настоящей работе мы обсуждаем применение ADI схемы Дугласа - Рекфорда к решению задачи Стефана в пористых вечномёрзлых грунтах. Структура статьи следующая: следующий раздел содержит формулировку задачи и некоторые предположения, которые будут использоваться при доказательстве численной устойчивости ADI схемы, а в разделе 3 представлено само доказательство. В 4 разделе представлены численные результаты, за которыми следуют выводы.

Читать далее

Метод переменных направлений для нелинейного уравнения теплопроводности

Данная заметка посвящена обсуждению применения схемы Дугласа – Рекфорда для решения трехмерного нелинейного уравнения теплопроводности. Обсуждаются метод Ньютона – Рафсона и метод “замороженных коэффициентов”.

Прежде чем приступить к обсуждению подходов к решению нелинейного уравнения, дадим определение тому, что будем понимать под нелинейным уравнением.

Ниже будет рассматриваться уравнение теплопроводности, в котором теплоемкость и коэффициент теплопроводности зависят от температуры. Таким образом, коэффициенты, входящие в уравнение теплопроводности, оказываются зависящими от температуры:

, (1)
Читать далее