Реализация метода переменных направлений с использованием технологии CUDA

1. Введение

В настоящей заметке демонстрируется возможность выполнения расчетов на видеокартах (с применением технологии CUDA) при моделировании физических процессов и явлений на примере решения трехмерного уравнения теплопроводности. Приведен сравнительный анализ скорости расчетов на центральном (CPU) и графическом (GPU) процессорах.

2. Описание схемы Дугласа-Рекфорда

При математическом моделировании распространения тепла с учетом фильтрации и фазовых превращений применяется следующее уравнение теплопроводности:

(1)   \begin{equation*}  C_{ev}\frac{\partial T}{\partial t}+\bigtriangledown{(-k\bigtriangledown{T})}+C_w\vec{v}\bigtriangledown{T}-Q=0 \end{equation*}

Физический смысл коэффициентов, участвующих в уравнении (1), приведен в таблице 1.

Читать далее

Метод переменных направлений для нелинейного уравнения теплопроводности

Данная заметка посвящена обсуждению применения схемы Дугласа – Рекфорда для решения трехмерного нелинейного уравнения теплопроводности. Обсуждаются метод Ньютона – Рафсона и метод “замороженных коэффициентов”.

Прежде чем приступить к обсуждению подходов к решению нелинейного уравнения, дадим определение тому, что будем понимать под нелинейным уравнением.

Ниже будет рассматриваться уравнение теплопроводности, в котором теплоемкость и коэффициент теплопроводности зависят от температуры. Таким образом, коэффициенты, входящие в уравнение теплопроводности, оказываются зависящими от температуры:

, (1)
Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия. Граничные условия третьего рода

Вторая заметка посвящена обсуждению задания граничных условий третьего рода на гранях прямоугольной области моделирования и содержит описание алгоритма учета граничных условий 1-го и 3-го родов, заданных на различных гранях.

Прежде чем перейти к обсуждению используемой схемы Дугласа – Рекфорда, следует коротко остановиться на другой схеме метода переменных направлений – двумерной конечно-разностной схеме Писмана – Рекфорда.

Корректный учет промежуточных граничных условий первого и второго родов для схемы Писмана – Рекфорда был подробно рассмотрен в [1]. Существенное отличие трехмерной схемы Дугласа – Рекфорда от двумерной схемы Писмана – Рекфорда состоит в том, что в последнюю из упомянутых схем пространственные координаты входят симметрично. Таким образом, второе уравнение схемы Писмана – Рекфорда содержит конечно-разностные представления производных для обеих пространственных координат. Этот факт обусловливает громоздкость вывода соотношения между значениями неизвестной функции на различных гранях – см. детали в [1].

Несмотря на то, что схема Дугласа – Рекфорда спроектирована для трехмерной пространственной области, учет промежуточных граничных условий 3-го рода оказывается для нее более простым благодаря несимметричному вхождению производных по пространственным координатам в выражения (1) – (3):

, (1)
Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия

Для решения многомерных задач, приводящих к уравнениям в частных производных параболического типа, широкое применение получил метод переменных направлений (ADI – alternate directions implicit method) [1]. Несмотря на то, что метод имеет давнюю историю и хорошо описан в учебной литературе, попытки его реализации порой оказываются неверными или неточными [2]. Неточность проявляется тогда, когда при учете граничных условий пренебрегается их задание на промежуточных временных шагах. Это пренебрежение может становиться причиной возникновения неустойчивостей даже в том случае, когда сама используемая схема является безусловно устойчивой по спектральному признаку [3]. Тому, как производить корректный учет промежуточных граничных условий для схемы Писмана - Рекфорда (Peaceman-Rachford), посвящены соответствующие разделы в [4, 5].

Ниже мы рассмотрим учет промежуточных граничных условий для схемы переменных направлений Дугласа - Рекфорда (Douglas-Rachford) [3]:
, (1) 
, (2) 
, (3) 
Читать далее