Расчет деформации фундаментов

1. Введение

Фундаменты жилых и хозяйственных построек в процессе эксплуатации испытывают нагрузки, приводящие к их деформации и просадке. Расчет возможных деформаций фундаментов необходимо проводить на этапе проектирования. В настоящей статье рассмотрен процесс компьютерного моделирования процессов деформации фундаментов. Предлагается подход, основанный на численном решении стационарного дифференциального уравнения в частных производных. Данное уравнение описывает малые поперечные прогибы тонкой пластины (фундамента) с учетом сил упругости при перпендикулярных воздействиях внешних сил.

2. Уравнение прогиба пластины

Пусть на плоскости, в которой находится пластина, задана декартова система координат (x,y). Через \Omega обозначим область, которую занимает пластина в данной плоскости. Пусть \Gamma=\partial {\Omega} – граница области \Omega . Функцию, равную прогибу пластины, обозначим через u(x,y):\Omega\to R. При малых поперечных (вертикальных) прогибах функция u(x,y) удовлетворяет следующему уравнению [1]:

(1)   \begin{equation*}  D(x,y)\times ( \frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{x}} +2\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^2{x}\partial^2{y}}+\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{y}})= \end{equation*}

    \[ = f(x,y) + r(x,y,u), (x,y)\in \Omega \]

Читать далее

Метод переменных направлений для нелинейного уравнения теплопроводности

Данная заметка посвящена обсуждению применения схемы Дугласа – Рекфорда для решения трехмерного нелинейного уравнения теплопроводности. Обсуждаются метод Ньютона – Рафсона и метод “замороженных коэффициентов”.

Прежде чем приступить к обсуждению подходов к решению нелинейного уравнения, дадим определение тому, что будем понимать под нелинейным уравнением.

Ниже будет рассматриваться уравнение теплопроводности, в котором теплоемкость и коэффициент теплопроводности зависят от температуры. Таким образом, коэффициенты, входящие в уравнение теплопроводности, оказываются зависящими от температуры:

, (1)
Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия. Граничные условия третьего рода

Вторая заметка посвящена обсуждению задания граничных условий третьего рода на гранях прямоугольной области моделирования и содержит описание алгоритма учета граничных условий 1-го и 3-го родов, заданных на различных гранях.

Прежде чем перейти к обсуждению используемой схемы Дугласа – Рекфорда, следует коротко остановиться на другой схеме метода переменных направлений – двумерной конечно-разностной схеме Писмана – Рекфорда.

Корректный учет промежуточных граничных условий первого и второго родов для схемы Писмана – Рекфорда был подробно рассмотрен в [1]. Существенное отличие трехмерной схемы Дугласа – Рекфорда от двумерной схемы Писмана – Рекфорда состоит в том, что в последнюю из упомянутых схем пространственные координаты входят симметрично. Таким образом, второе уравнение схемы Писмана – Рекфорда содержит конечно-разностные представления производных для обеих пространственных координат. Этот факт обусловливает громоздкость вывода соотношения между значениями неизвестной функции на различных гранях – см. детали в [1].

Несмотря на то, что схема Дугласа – Рекфорда спроектирована для трехмерной пространственной области, учет промежуточных граничных условий 3-го рода оказывается для нее более простым благодаря несимметричному вхождению производных по пространственным координатам в выражения (1) – (3):

, (1)
Читать далее

Конечно-разностная аппроксимация граничных условий второго и третьего рода для нелинейного уравнения теплопроводности

Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности

, (1)

где
, (2)

с начальным условием , и граничными условиями
, (3)

при . Если , то условие (3) является граничным условием второго рода, если же , то третьего.

Введём равномерные сетки в пространстве и времени:, , , .

Определим сеточные функции , , , , , , , .

Читать далее