Расчет деформации фундаментов

1. Введение

Фундаменты жилых и хозяйственных построек в процессе эксплуатации испытывают нагрузки, приводящие к их деформации и просадке. Расчет возможных деформаций фундаментов необходимо проводить на этапе проектирования. В настоящей статье рассмотрен процесс компьютерного моделирования процессов деформации фундаментов. Предлагается подход, основанный на численном решении стационарного дифференциального уравнения в частных производных. Данное уравнение описывает малые поперечные прогибы тонкой пластины (фундамента) с учетом сил упругости при перпендикулярных воздействиях внешних сил.

2. Уравнение прогиба пластины

Пусть на плоскости, в которой находится пластина, задана декартова система координат (x,y). Через \Omega обозначим область, которую занимает пластина в данной плоскости. Пусть \Gamma=\partial {\Omega} – граница области \Omega . Функцию, равную прогибу пластины, обозначим через u(x,y):\Omega\to R. При малых поперечных (вертикальных) прогибах функция u(x,y) удовлетворяет следующему уравнению [1]:

(1)   \begin{equation*}  D(x,y)\times ( \frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{x}} +2\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^2{x}\partial^2{y}}+\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{y}})= \end{equation*}

    \[ = f(x,y) + r(x,y,u), (x,y)\in \Omega \]

Читать далее

Перенос граничных условий на ортогональную гексаэдрическую сетку

При моделировании физических процессов и явлений повсеместно встает задача численного решения дифференциальных задач в частных производных. Одним из способов численного решения уравнений математической физики является подход, основанный на конечноразностной аппроксимации. Однако, существенный недостаток данного метода – необходимость использовать ортогональную гексаэдрическую сетку. При решении задач на практике, порой используется сложная геометрическая конфигурация расчетной области (см. например, рисунок 1), и поэтому упомянутый недостаток является достаточно критичным.

Рисунок 1 – Пример сложной поверхности, как части расчетной области

Вследствие вышесказанного, возникает совершенно естественная задача об аппроксимации геометрической конфигурации расчетной области гранями ячеек заданной ортогональной гексаэдрической сетки.

Перейдем к более подробной постановке задачи. Пусть расчетная сетка в трехмерном пространстве является ортогональной и гексаэдральной. А именно, пусть – упорядоченный по возрастанию набор делений сетки по оси , аналогично введем в рассмотрение упорядоченные наборы делений сетки по оси и соответственно. В силу сделанных обозначений узлами расчетной сетки является следующее множество точек . Геометрическая конфигурация, требующая аппроксимации гранями сетки, задается триангулированной поверхностью. Пусть – множество треугольников, входящее в триангуляцию поверхности, количество их . При численном решении задачи математической физики помимо геометрической аппроксимации поверхности гранями ячеек сетки имеет место задача об адекватном переносе площади триангулированной поверхности на грани ячеек, участвующие в ее аппроксимации. Таким образом, по множеству треугольников необходимо определить множество граней ячеек сетки, аппроксимирующее триангулированную поверхность, и каждой такой грани сопоставить перенесенную площадь.

Приведем алгоритм, решающий выше поставленную задачу.

1) Рассмотрим сетку, которая является двойственной к исходной, то есть такую сетку, узлы которой являются центрами ячеек исходной расчетной сетки. Будем хранить трехмерный массив вещественных чисел, элементы которого соответствуют ячейкам двойственной сетки. Первоначально инициализируем элементы массива нулями.

Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия. Граничные условия третьего рода

Вторая заметка посвящена обсуждению задания граничных условий третьего рода на гранях прямоугольной области моделирования и содержит описание алгоритма учета граничных условий 1-го и 3-го родов, заданных на различных гранях.

Прежде чем перейти к обсуждению используемой схемы Дугласа – Рекфорда, следует коротко остановиться на другой схеме метода переменных направлений – двумерной конечно-разностной схеме Писмана – Рекфорда.

Корректный учет промежуточных граничных условий первого и второго родов для схемы Писмана – Рекфорда был подробно рассмотрен в [1]. Существенное отличие трехмерной схемы Дугласа – Рекфорда от двумерной схемы Писмана – Рекфорда состоит в том, что в последнюю из упомянутых схем пространственные координаты входят симметрично. Таким образом, второе уравнение схемы Писмана – Рекфорда содержит конечно-разностные представления производных для обеих пространственных координат. Этот факт обусловливает громоздкость вывода соотношения между значениями неизвестной функции на различных гранях – см. детали в [1].

Несмотря на то, что схема Дугласа – Рекфорда спроектирована для трехмерной пространственной области, учет промежуточных граничных условий 3-го рода оказывается для нее более простым благодаря несимметричному вхождению производных по пространственным координатам в выражения (1) – (3):

, (1)
Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия

Для решения многомерных задач, приводящих к уравнениям в частных производных параболического типа, широкое применение получил метод переменных направлений (ADI – alternate directions implicit method) [1]. Несмотря на то, что метод имеет давнюю историю и хорошо описан в учебной литературе, попытки его реализации порой оказываются неверными или неточными [2]. Неточность проявляется тогда, когда при учете граничных условий пренебрегается их задание на промежуточных временных шагах. Это пренебрежение может становиться причиной возникновения неустойчивостей даже в том случае, когда сама используемая схема является безусловно устойчивой по спектральному признаку [3]. Тому, как производить корректный учет промежуточных граничных условий для схемы Писмана - Рекфорда (Peaceman-Rachford), посвящены соответствующие разделы в [4, 5].

Ниже мы рассмотрим учет промежуточных граничных условий для схемы переменных направлений Дугласа - Рекфорда (Douglas-Rachford) [3]:
, (1) 
, (2) 
, (3) 
Читать далее