Разбиение отрезка с опциональным сгущением на концах

Предисловие:

Исходный отрезок разбивается на части "обязательными" точками (т.е. точками, в которых должны находится узлы пространственной сетки), которые могут как быть, так и не быть точками сгущения. На каждой части разбиения можно применить способ построения подразбиения, описанный в данной заметке.

Пусть  – минимально допустимый шаг,  – максимально допустимый,  – длина отрезка, . Тогда минимально возможное число шагов – , а максимально возможное – . Если , то условие задачи некорректно. Допустим, что .

Если оба конца отрезка не требуют сгущения, то можно взять равномерное разбиение с любым количеством шагов  таким, что .

Пусть сгущения требует лишь один конец. Не нарушая общности, левый. Предположим ,, где ,  и  подлежат определению. Должны выполняться следующие условия:

Пусть  задано. Предлагается рассмотреть всего 2 случая:

В первом случае  находим из уравнения

.

А во втором – из уравнения

Каждое уравнение имеет при  единственный корень на отрезке . Соответственно, можно применить метод половинного деления отрезка. В каждом из двух случаев следует перебирать  от  до  включительно. Все варианты разбиения, для которых выполнены условия 1) – 3), подходят. Можно доказать (методом от противного), что если ни одного варианта описанным способом не найдено, то условие задачи некорректно.

Пусть сгущения требуют оба конца. Допустим , , , , где  и  подлежат определению. Должны выполняться следующие условия:

Рассматриваем всего 2 случая:

В первом случае  находим из уравнения

, где .

А во втором – из уравнения

, где .

Каждое уравнение имеет при  единственный корень на отрезке . Соответственно, можно применить метод половинного деления отрезка. В каждом из двух случаев следует перебирать  от  до  включительно. Все варианты, для которых выполнены условия 1)-3), подходят. Можно доказать (методом от противного), что если ни одного варианта этим способом не найдено, то условие задачи некорректно.

Остаются открытыми 2 вопроса: какой вариант разбиения выбрать, если возможны несколько, и что делать, если ни одного варианта не найдено. Ответ на первый зависит от того, что именно ищется. Например, можно искать вариант с максимально возможной густотой на выбранных концах или вариант с минимально возможным количеством частей разбиения или разбиение с наибольшей неравномерностью. Соответственно, следует выбирать вариант с наибольшим , наименьшим  или с самым большим . Если ни одного варианта разбиения не найдено, то можно найти вариант, в котором нарушение условий 1), 2) наименьшее (в качестве меры нарушения можно считать ), допустить, что ,  и перерешать задачу.

Замечание. При приближённом решении уравнений относительно  следует учесть, что погрешность каждого  ( или  для случая одного или двух сгущений соответственно) также должна быть мала. Поэтому предлагается в качестве неизвестной допустить  в максимальной степени. Тогда и погрешность  автоматически будет мала. Кроме того, значительно упростятся выражения для правой границы корня уравнения: будем иметь  в случае одного сгущения и  в случае двух.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *


*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>