Расчет деформации фундаментов

1. Введение

Фундаменты жилых и хозяйственных построек в процессе эксплуатации испытывают нагрузки, приводящие к их деформации и просадке. Расчет возможных деформаций фундаментов необходимо проводить на этапе проектирования. В настоящей статье рассмотрен процесс компьютерного моделирования процессов деформации фундаментов. Предлагается подход, основанный на численном решении стационарного дифференциального уравнения в частных производных. Данное уравнение описывает малые поперечные прогибы тонкой пластины (фундамента) с учетом сил упругости при перпендикулярных воздействиях внешних сил.

2. Уравнение прогиба пластины

Пусть на плоскости, в которой находится пластина, задана декартова система координат (x,y). Через \Omega обозначим область, которую занимает пластина в данной плоскости. Пусть \Gamma=\partial {\Omega} – граница области \Omega . Функцию, равную прогибу пластины, обозначим через u(x,y):\Omega\to R. При малых поперечных (вертикальных) прогибах функция u(x,y) удовлетворяет следующему уравнению [1]:

(1)   \begin{equation*}  D(x,y)\times ( \frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{x}} +2\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^2{x}\partial^2{y}}+\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{y}})= \end{equation*}

    \[ = f(x,y) + r(x,y,u), (x,y)\in \Omega \]

Коэффициенты, входящие в уравнение (1), описаны в таблице 1.

Таблица 1. Описание коэффициентов

Коэффициенты Описание Размерности
D(x,y)=\frac{E(x,y)h(x,y)^3}{12(1-\nu(x,y)^2)} изгибная жесткость пластины в точке (x,y) Н∙м
h(x,y) толщина пластины в точке (x,y) м
E(x,y) модуль Юнга в точке (x,y) Па
\nu(x,y) коэффициент Пуассона в точке (x,y)
r(x,y,u) реакция опоры в точке (x,y) Па
f(x,y) давление перпендикулярное плоскости пластины в точке (x,y) Па

Так как уравнение (1) определяет целое семейство функций, удовлетворяющих ему, то для однозначного решения данного уравнения, для него ставят граничные условия, которые задаются в зависимости от явлений, происходящих в точках \Gamma – границы области. При расчете деформации фундаментов на практике встречаются граничные условия трех видов: жесткое защемление границы, шарнирное закрепление границы и случай свободной границы. Случаи жесткого защемления и шарнирного закрепления границы имеют место, когда фундаментная плита крепится к ростверку. Случай свободной границы имеет место, когда фундаментная плита лежит на поверхности грунта или сваях, и ее края не закреплены. Через \vec{n}(x,y) обозначим внешний вектор нормали к границе \Gamma в точке (x,y)\in\Gamma. Если граница пластины (фундамента) жестко защемлена, то граничное условие имеет следующий вид:

    \[ \begin{cases} u(x,y)|_{(x,y)\in\Gamma}=0, \\ \frac{\partial u(x,y)}{\partial \vec{n}}|_{(x,y)\in\Gamma}=0. \end{cases} \]

(2)

Если граница пластины шарнирно закреплена, то

    \[ \begin{cases} u(x,y)|_{(x,y)\in\Gamma}=0, \\ G(x,y)|_{(x,y)\in\Gamma}=0. \end{cases} \]

(3)

где через G(x,y) обозначен изгибающий момент в точке (x,y). И, наконец, если граница \Gamma свободна, то граничные условия формулируются исходя из отсутствия внешних сил на границе.

При моделировании деформации и просадки плиты фундамента реакция опоры r(x,y,u) в точке (x,y) плиты \Omega либо равна нулю (например, в случае наличия пустот под плитой), либо совпадает с реакцией грунта, либо же – с реакцией свай, в зависимости от того, соприкасается ли плита с грунтом или же плита расположена на сваях. Экспериментальные исследования [2] показали, что зависимость между реакцией грунта r(x,y,u) и поперечным перемещением u(x,y) плиты вниз носит линейный характер. Эта линейная зависимость справедлива до тех пор, пока реакция грунта меньше его несущей способности. Затем реакция грунта остается постоянной и не зависит от перемещения u(x,y). Таким образом, реакция опоры r(x,y,u), в случае если опора представлена грунтом, вычисляется по формуле (4):

(4)

Через \lambda(x,y) в формуле (4) обозначен коэффициент реакции грунта [Н/м3], а через c(x,y) – его несущая способность [Па].

Если же опора в точке (x,y) плиты \Omega представлена сваей, то на практике предполагается, что реакция r(x,y,u) линейно зависит от перемещения u(x,y) до тех пор, пока r(x,y,u) \le c(x,y). При достижении реакции сваи несущей способности c(x,y) считают, что свая теряет способность сопротивляться, и поэтому r(x,y,u)=0. Другими словами, реакция опоры r(x,y,u), в случае если опора представлена сваей, вычисляется по формуле (5):

(5)

Через k(x,y) в формуле (5) обозначен коэффициент реакции сваи [Н/м3].

Так как область \Omega, которую занимает пластина, произвольна, то общая формула для аналитического решения уравнения (1) отсутствует, поэтому для решения данного уравнения применяются численные методы. Для численного решения задачи прогиба пластины будем использовать подход, основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов.

При конечно-разностной аппроксимации уравнение (1), которое является уравнением четвертого порядка, шаблон типа «крест» содержит 9 узлов. Однако здесь возникают проблемы с аппроксимацией данного уравнения в узлах, соседствующих с граничными узлами. Поэтому сформулируем уравнение (1) четвертого порядка в виде эквивалентной системы трёх уравнений (6) второго порядка:

    \[ \begin{cases} D(x,y)\times (\Delta\nu(x,y)+\Delta w(x,y))=f(x,y)+r(x,y,u), \\ \\ \frac{\partial ^2u(x,y)}{\partial x^2}=\nu,\\ \\ \frac{\partial ^2u(x,y)}{\partial y^2}=w. \end{cases} \]

(6)

Несмотря на то, что в системе уравнений (6) в три раза больше неизвестных, чем в уравнении (1), её конечно-разностная аппроксимация не вызывает трудностей, так как шаблон для аппроксимации производной второго порядка содержит всего 3 узла.

В силу того, что система уравнений (6) в общем случае является нелинейной, то при ее численном решении выполняются итерации по нелинейности.

3. Пример расчета деформации фундамента

Приведем пример расчета деформации фундамента. В данном примере будем предполагать, что материалом фундамента является бетон с физическими свойствами, приведенными в таблице 2.

Таблица 2 – Физические параметры материала

Физические параметры Значение
Модуль Юнга E = 10.0 ГПа
Коэффициент Пуассона \mu=0.2
Плотность ρ = 2000.0 кг/м3

Пусть плита фундамента \Omega имеет форму круга, центр которого находится в точке с координатами x_0=30.0 м, y_0=30.0 м, а радиус круга равен r_0=30.0 м. Толщина плиты равна b=0.5 м. Рассмотрим два случая крепления плиты фундамента на сваях. В первом расчете плита располагается на 60 сваях – 40 из них равномерно располагаются по кругу с центром в точке (x_0,y_0) и радиусом r_1=27 м, остальные 20 свай равномерно располагаются по кругу с центром в точке (x_0,y_0) и радиусом r_2=10.0 м. Координаты по оси Oz верхних точек свай равны h_0=0 м. Коэффициент реакции свай равен k(x,y)=1.0\times10^9 Н/м3, несущая способность свай равна c(x,y)=1.0 ГПа.

Внешнее давление, перпендикулярное плоскости плиты, равно f_0=35.0 кПа. Таким образом, учитывая давление, создаваемое весом плиты, суммарное давление в каждой точке (x,y) плиты \Omega равно f(x,y)=-f_0 -\rho gb \approx -44.8 кПа. Граница пластины \Omega свободна.

Результаты расчета деформации фундамента представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Прогиб пластины фундамента (случай 1)

На рисунке 1 цветовым распределением показано значение прогиба плиты фундамента в вертикальном направлении. Черными точками обозначены верхние концы свай. Отметим, что нагрузка ни на одну из свай не превысила ее несущую способность c(x,y). Максимальный прогиб пластины фундамента составил 7.0\times 10^{-2} м.

Во втором расчете оставим только 40 свай, которые располагаются по кругу с центром в точке (x_0,y_0) и радиусом r_1=27.0 м. Результаты расчета представлены на рисунке 2.

Рисунок 2 – Прогиб пластины фундамента (случай 2)

Аналогично первому расчету нагрузка ни на одну из свай не превысила несущую способность c(x,y). Однако здесь максимальный прогиб пластины фундамента уже составил 0.62 м, что может привести к разрушению фундамента.

4. Вывод

В статье продемонстрировано применение численного моделирования для оценки неравномерных прогибов плит фундаментов при различных нагрузках и расположении несущих свай. Приведенный подход может быть также применен для расчета деформации плит фундаментов на проседающем многолетнемерзлом грунте в результате его растепления.

5. Список использованной литературы

  1. Тимошенко, С. П. Пластины и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер; под ред. Г. С. Шапиро. – Москва: «Наука», 1966. – 635 с.
  2. Айнбиндер, А. Б. Расчет магистральных и промысловых трубопроводов на прочность и устойчивость: Справочное пособие / А. Б. Айнбиндер. – Москва: «Недры», 1991. – 287 с.

Автор статьи: Войделевич А.С.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *


*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>