О применении статического адаптивного разбиения расчётной области

Введение

Многие программные комплексы для проведения численных расчетов предоставляют пользователям возможность использования статического адаптивного (далее, просто адаптивного) шага при построении ортогональной гексаэдрической структурированной расчетной сетки. То есть, на основе собственного опыта, пользователь, желая получить более точный расчет и при этом существенно не увеличивая время расчета, может указать таким программам те места расчетной области, в которых необходимо, по его мнению, применить более детальное разбиение (использовать меньший шаг по пространству) по сравнению с остальной частью расчетной области.

При правильном применении, статическое адаптивное разбиение расчетной области является мощным инструментом в численных расчетах, увеличивая их точность. Однако в случае злоупотребления вышеописанной опцией может значительно увеличиться время расчета, а точность расчета существенно не изменится. В настоящей статье мы приводим теоретические преимущества и недостатки использования адаптивного разбиения расчетной области, а также даем два примера численных расчетов тепловых полей в грунте. В первом примере использование адаптивного шага является целесообразным, а во втором нет.

Минусы использования адаптивной сетки

При численном решении нестационарных задач временной шаг выбирается из критерия устойчивости численной схемы. Например, для численного решения задачи теплопроводности методом конечно-разностной аппроксимации критерий выбора временного шага имеет вид:

критерий выбора временного шага

где – минимальные шаги по пространству вдоль осей соответственно, а константа C выбирается исходя из физических параметров задачи.

В случае применения адаптивного разбиения расчетной области следует избегать сильного уменьшения шага по пространству вдоль какого-либо направления в окрестности одного узла. Так как сильное уменьшение шага в окрестности одного узла не даст ощутимого повышения точности расчета в целом, но, как следует из формулы (1), значительно уменьшит временной шаг, а значит, увеличится время расчета.

Отдельно стоит упомянуть проблему применения адаптивной сетки при конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов. Проблема заключается в том, что порядок аппроксимации дифференциальных операторов в общем случае падает. Рассмотрим, например, конечно-разностную аппроксимацию оператора . Применяя аппроксимацию на стандартном шаблоне, получаем следующую формулу:

где . Предполагая достаточную гладкость функции u, на основе формулы Тейлора имеем следующие равенства:

Подставляя равенства (3) и (4) в (2) и приводя подобные слагаемые, получаем соотношение:

Из формулы (5) следует, что при , оператор аппроксимируется с первым порядком точности. В тоже время на регулярной сетке , и оператор аппроксимируется со вторым порядком точности.

Плюсы использования адаптивной сетки

Несмотря на то, что в общем случае разностный оператор аппроксимируется с первым порядком точности, на практике, если и будет различаться не существенно то слагаемое в (5) будет достаточно мало и не будет оказывать большого влияния на точность аппроксимации.

Также стоит отметить, что если пользователь желает получить более точное решение на небольшом участке, то имеет смысл проводить сгущение сетки только в этом участке, вместо сгущения сетки по всей расчетной области. В таком случае использование адаптивной сетки может значительно уменьшить число узлов расчетной сетки, тем самым значительно сократив время расчета и количество используемой памяти.

Необходимость использования адаптивной сетки возникает в тех случаях, когда нужно получить детальную дискретизацию небольших объектов сложной формы. Использование равномерной сетки в таких случаях приводит к чрезмерному увеличению числа узлов, что усложняет как построение модели для расчета, так и дальнейший расчет на ней.

Сравнение результатов расчетов

Пример 1

С помощью программного комплекса Frost 3D будем моделировать задачу теплопроводности с фазовыми переходами. Вид сверху составленной модели приведен на рисунке 1:

Вид расчетной области сверху

Рисунок 1 – Вид сверху расчётной области

Расчетная область содержит четыре параллелепипеда и особенность в виде звездочки по центру. Ширина и высота расчетной области 60 м, высота – 20 м. Физические параметры материалов приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Физические параметры материалов

Параметр Левый верхний и правый нижний параллелепипед Левый нижний и правый верхний параллелепипед Звездочка

Температура в начальный момент времени, oC

4.14 1.14 4.14

Объемная теплоемкость при температуре выше температуры фазового перехода,  МДж/(м3К)

18.4 5.7 12.8

Объемная теплоемкость при температуре ниже температуры фазового перехода,  МДж/(м3К)

2.14 0.54 2.14

Теплопроводность при температуре выше температуры фазового перехода, Вт/(м К)

1.8

1.8

1.8

Теплопроводность при температуре ниже температуры фазового перехода, Вт/(м К)

2.1 2.1 2.1

Температура фазового перехода во всех материалах равна 0 oC. На границах расчетной области в качестве граничного условия задан нулевой тепловой поток.

Для вышеописанной модели построим расчетную сетку, используя равномерный шаг по всем трем координатным осям. Шаг сетки по каждой координатной оси – 1.0 м, таким образом, расчетная область содержит 78141 узлов. Как видно на рисунке 2, особенность в центре, при использовании равномерной сетки, дискретизирована грубо.

Разбиение расчетной области с равномерным шагом

Рисунок 2 – Разбиение области с равномерным шагом

Построим расчетную сетку приблизительно с таким же числом узлов, используя адаптивный шаг, со сгущением в центре. Минимальный шаг по координатным осям 0.155 м., максимальный – 1.5 м. Область содержит 84375 узлов. Как видно на рисунке 3, сложный объект в центре дискретизирован гораздо точнее, чем в случае применения равномерной сетки.

Фрагмент разбиения расчетной области с неравномерным шагом

Рисунок 3 – Фрагмент разбиения области с неравномерным шагом

Для того чтобы проверить насколько сильно повлияла грубая дискретизация на полученный результат, проведем численный расчет и рассмотрим зависимость температуры от времени в центре расчетной области при использовании равномерной и адаптивной сетки (график 1).

В нижеприведенных графиках показана зависимость температуры (градусы Кельвина) от времени (дни).

Зависимость температуры от времени при использовании равномерной и адаптивной сетки (график 1)

График 1 – Зависимость температуры от времени (адаптивная и равномерная сетка)

Пример 2

Построим модель, аналогичную модели из примера 1, отличающуюся лишь тем, что в центре отсутствует особенность в виде звездочки. Аналогично примеру 1, проведем два расчета: один на равномерной сетке, а второй расчет – на адаптивной сетке. Шаги сеток по координатным осям выберем равными тем, которые использовались в примере 1.

Будем исследовать поведение температуры в центральной точке расчетной области. Зависимости температуры от времени при использовании равномерной и адаптивной сетки представлены на графике 2.

Зависимость температуры от времени при использовании равномерной и адаптивной сетки (график 2)

График 2 – Зависимость температуры от времени (равномерная и адаптивная сетка)

Сопоставляя результаты расчетов, находим, что тепловые поля различаются не так существенно, как в примере 1. Однако, в некоторых численных схемах, которые используют критерий выбора временного шага, описанного ранее, применение адаптивной сетки значительно увеличивает время расчета, что говорит о нецелесообразности использования адаптивного шага.

Вывод

Суммировав вышеприведенные плюсы и минусы применения адаптивного разбиения расчетной области, отметим, что данную опцию имеет смысл применять в том случае, когда область содержит элементы, геометрические особенности которых сильно меньше размеров расчетной сетки. Кроме того, адаптивная сетка может использоваться в том случае, если применяемый численный метод не теряет порядок аппроксимации при использовании неравномерного разбиения области, а также обладает безусловной устойчивостью при выборе временного шага. В остальных случаях применение адаптивного разбиения не дает существенного улучшения точности расчета, однако значительно увеличивает время расчета.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *


*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>