Метод переменных направлений для нелинейного уравнения теплопроводности

Данная заметка посвящена обсуждению применения схемы Дугласа – Рекфорда для решения трехмерного нелинейного уравнения теплопроводности. Обсуждаются метод Ньютона – Рафсона и метод “замороженных коэффициентов”.

Прежде чем приступить к обсуждению подходов к решению нелинейного уравнения, дадим определение тому, что будем понимать под нелинейным уравнением.

Ниже будет рассматриваться уравнение теплопроводности, в котором теплоемкость и коэффициент теплопроводности зависят от температуры. Таким образом, коэффициенты, входящие в уравнение теплопроводности, оказываются зависящими от температуры:

, (1)

где и - теплоемкость и коэффициент теплопроводности соответственно. Всякий раз когда будет использоваться термин “нелинейное уравнение”, будет подразумеваться уравнение в обозначенном выше смысле – т.е., уравнение теплопроводности с зависящими от температуры коэффициентами (отметим, что согласно [(Lees, 1966)], такое уравнение следует называть квази-линейным).

Рассмотрим теперь схему Дугласа – Рекфорда для трехмерного уравнения теплопроводности (1) [(Douglas, 1962)], [(Lees, 1961)]:

, (2)
, (3)
, (4)

где ; - искомая функция, определенная на следующей пространственно-временной сетке:


(5)
где

, (6)
,(7)

- индексы узлов пространственной сетки вдоль направлений и соответственно. - полные числа узлов пространственной сетки вдоль направлений и соответственно. - величины шагов вдоль направлений и соответственно. - величина временного шага. и - промежуточные величины необходимые для нахождения неизвестной функции в схеме (2) – (4).

Прежде всего, обсудим моменты времени, в которые производится расчет коэффициентов и в схеме (2) – (4). Эти коэффициенты зависят от неизвестной функции и, т.о., неявно зависят от момента времени.

Можно представить следующие три случая:

1. Берутся значения и (i.e., значения в момент времени ) для каждого вхождения этих коэффициентов в схему (2) – (4). В этом случае получается т.н. схема с “замороженными коэффициентами”. Хотя на каждом временном слое коэффициенты и должны пересчитываться, и являются известными величинами и схема оказывается линеаризованной.

2. Можно ошибочно приняться за рассмотрение такой схемы, где коэффициенты и рассчитываются в “промежуточные” моменты времени – т.е., промежуточные величины и подставляются в качестве аргументов в и с тем, чтобы получить , , , :

, (8)
, (9)
, (10)

Такой подход является ошибочным, поскольку величины и не являются истинными значениями неизвестной функции в промежуточные моменты времени. Это следует из того факта, что является решением уравнения (8) (которое, в свою очередь, представляет собой неявную схему относительно направления Y), а является решением уравнения (9) (которое является неявной схемой относительно направления X), но ни , ни не принадлежат пространству решений полного уравнения теплопроводности (1). В то же время и являются решениями уравнения (1), определенными на сетке (5) – (7). Таким образом, данная (вторая) идея приводит к ошибочным результатам и ее следует избегать.

3. Наконец, можно попытаться взять величины и (т.е., значения в момент времени ) для каждого вхождения этих коэффициентов в схему (2) – (4). Это будет “истинно” соответствовать нелинейному уравнению (1) и необходимо будет каким-то нетривиальным образом учитывать присутствующую нелинейность.

Ниже мы рассмотрим применение метода Ньютона – Рафсона к решению системы (2) – (4) имея в виду последнюю (третью) из рассмотренных выше идей. Предположим, что система (2) – (4) может быть рассмотрена как обычная система нелинейных уравнений, к которой применим метод Ньютона - Рафсона. В этом случае, для системы (2) – (4) может быть записано следующее соотношение:

, (11)

где - матрица Якоби

, (12)
, (13)
, (14)
, (15)
, (16)
, (17)
, (18)
, (19)
, (20)
, (21)
, (22)
, (23)
, (24)
, (25)
, (26)
, (27)
, (28)
, (29)

где , и начальные приближения для значений , и ; - номер итерации.

Тогда,
. (30)

Каждый элемент в выражении (30) является матрицей размера. Таким образом, - 9-диагональная матрица размером .

Теперь, когда известны (12) и (14), можно решить уравнение (11) относительно (13). Следует отметить, что в такой постановке данный метод уже не является методом переменных направлений, поскольку расщепления схемы не происходит и матрицы не являются 3-диагональными. Кроме того, эта система уравнений не может быть сведена к схеме Дугласа - Рекфорда. Действительно, суммирование уравнений системы (11) – (14) не приводит к уравнению Ньютона – Рафсона для неявной конечно-разностной схемы. Попытка же исключения промежуточных величин и из системы (11) – (14) приводит к уравнению, которое не имеет ничего общего с методом переменных направлений.

Таким образом, можно сделать вывод, что рассмотренные выше идеи #2 и #3 являются ошибочными при решении уравнения теплопроводности методом переменных направлений. Единственным обоснованным методом учета переменных коэффициентов является метод “замороженных коэффициентов”. На практике, вместе с методом переменных направлений используются либо метод “замороженных коэффициентов” [(J.E. Dendy, 1977)], либо некоторые аппроксимации нелинейных коэффициентов (например – аппроксимация Дугласа и Дюпонта [(Vijinder K. Bangia, Curtis Pennett, Albert Reynolds, Rajagopal Raghavan, 1978)], [(J. Douglas, T. Dupont, 1970, v. 7)]).

Приведенный выше анализ был бы неполным без обсуждения численной устойчивости используемых конечно-разностных схем.

Известно, что схема (2) – (4) с коэффициентами и рассчитываемыми на временном слое может быть переписана в следующей форме [(Peaceman, 1977)]:

, (31)

где - неизвестная функция (температурное поле), определенная на следующей пространственно-временной сетке:

(32)
где
, (33)
, (34)

- индексы узлов пространственной сетки вдоль направлений и соответственно. - числа узлов пространственной сетки вдоль направлений и соответственно. - величины пространственных шагов вдоль направлений и соответственно. - величина шага по времени.

- конечно-разностная аппроксимация производной по времени от неизвестной функции,

(35)

- величина теплоемкости в момент времени . То есть, в соответствии с принципом “замороженных коэффициентов”, является функцией пространственных координат и не зависит от температуры на временном слое.
- конечно-разностный оператор аппроксимирующий пространственный градиент.
- конечно-разностный оператор, (36)
- величина коэффициента теплопроводности в момент времени . То есть, в соответствии с принципом “замороженных коэффициентов”, является функцией пространственных координат и не зависит от температуры на временном слое.

Уравнение (31) может быть факторизовано следующим образом:


(37)

и переписано в следующем виде:


(38)

Схема (38) является численно устойчивой, если модули собственных значений оператора перехода


(39)

меньше единицы на каждом временном слое. В общем случае это налагает некоторые ограничения на значения и функциональные зависимости теплоемкости и теплопроводности . Насколько нам известно, до настоящего времени не было представлено доказательство численной устойчивости и сходимости для схемы (31) – (39). Кроме того, отсутствуют опубликованные работы посвященные применению трехмерной схемы Дугласа – Рекфорда для решения нелинейного (квазилинейного) уравнения теплопроводности. Мы предполагаем, что этот факт связан с трудностями, которые возникают при анализе численной устойчивости алгоритма расчета. В то же время, Дж. Дугласом было замечено, что “численные эксперименты с методом переменных направлений свидетельствуют в пользу успешности таких применений (применений этих методов к нелинейным задачам – примечание автора), хотя строгого обоснования этому до сих пор не было построено” [(Douglas, 1962)].

Литература:

Douglas, J. (1962). Alternating direction methods for three space variables // Numerische Mathematik. 4 (1, pp. 41-63).

J. Douglas, T. Dupont. (1970, v. 7). Galerkin methods for parabolic problems. SIAM J. Numer. Anal. , 576 - 626.

J.E. Dendy, J. (1977). Alternating direction methods for nonlinear time-dependent problems. SIAM J. Numer. Anal. , 14, 313-326.

Lees, M. (1966). A linear three-level difference scheme for quasilinear parabolic equations. J. Math. Comput. , v. 20, pp. 516 - 522.

Lees, M. (1961). Alternating Direction and Semi-Explicit Difference Methods for Parabolic Partial Differential Equations // Numerische Mathematik. 3, pp. 398 - 412.

Peaceman, D. (1977). Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. Amsterdam: Elsevier.

Vijinder K. Bangia, Curtis Pennett, Albert Reynolds, Rajagopal Raghavan. (1978). Alternating direction collocation methods for simulating reservoir performance. Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers of AIME. Houston.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *


*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>