О пространственной интерполяции температуры грунта по данным термометрии скважин

Введение

Для неасимптотического численного моделирования нестационарной теплопроводности нужно знать начальные условия. Если теплопроводящей средой является грунт, то обычно используют данные термометрии скважин (таблично заданные зависимости температуры от глубины) для начального момента времени. Затем можно либо применить интерполяцию по рассеянным данным [1], либо решить стационарную задачу теплопроводности с граничными условиями первого рода в точках измерения температуры. Во втором случае, если задача нелинейная, могут возникнуть проблемы со сходимостью метода.

Интерполяция температуры грунта по данным термометрии скважин

Рисунок 1 – Интерполяция температуры грунта в программе Frost 3D Universal

Читать далее

Конвективное слагаемое в схеме Дугласа – Рекфорда

1. Введение

При моделировании тепловых полей в грунте необходимо учитывать конвективный теплообмен, т.е. перенос тепла посредством переноса вещества. В грунте конвективный теплообмен происходит из-за наличия фильтрационных процессов, причиной которых, например, являются метеорологические осадки. Распределение температуры описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, в котором, в случае наличия конвекции, присутствует, так называемое, конвективное слагаемое. Ввиду произвольности формы расчетной области уравнение теплопроводности решают численно, например, конечно разностными методами. Одним из таких методов является схема переменных направлений Дугласа – Рекфорда. Модификации данной схемы при наличии конвекции в расчетной области посвящена настоящая заметка.

Читать далее

Расчет деформации фундаментов

1. Введение

Фундаменты жилых и хозяйственных построек в процессе эксплуатации испытывают нагрузки, приводящие к их деформации и просадке. Расчет возможных деформаций фундаментов необходимо проводить на этапе проектирования. В настоящей статье рассмотрен процесс компьютерного моделирования процессов деформации фундаментов. Предлагается подход, основанный на численном решении стационарного дифференциального уравнения в частных производных. Данное уравнение описывает малые поперечные прогибы тонкой пластины (фундамента) с учетом сил упругости при перпендикулярных воздействиях внешних сил.

2. Уравнение прогиба пластины

Пусть на плоскости, в которой находится пластина, задана декартова система координат (x,y). Через \Omega обозначим область, которую занимает пластина в данной плоскости. Пусть \Gamma=\partial {\Omega} – граница области \Omega . Функцию, равную прогибу пластины, обозначим через u(x,y):\Omega\to R. При малых поперечных (вертикальных) прогибах функция u(x,y) удовлетворяет следующему уравнению [1]:

(1)   \begin{equation*}  D(x,y)\times ( \frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{x}} +2\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^2{x}\partial^2{y}}+\frac{\partial^4{u(x,y)}}{\partial^4{y}})= \end{equation*}

    \[ = f(x,y) + r(x,y,u), (x,y)\in \Omega \]

Читать далее

Реализация метода переменных направлений с использованием технологии CUDA

1. Введение

В настоящей заметке демонстрируется возможность выполнения расчетов на видеокартах (с применением технологии CUDA) при моделировании физических процессов и явлений на примере решения трехмерного уравнения теплопроводности. Приведен сравнительный анализ скорости расчетов на центральном (CPU) и графическом (GPU) процессорах.

2. Описание схемы Дугласа-Рекфорда

При математическом моделировании распространения тепла с учетом фильтрации и фазовых превращений применяется следующее уравнение теплопроводности:

(1)   \begin{equation*}  C_{ev}\frac{\partial T}{\partial t}+\bigtriangledown{(-k\bigtriangledown{T})}+C_w\vec{v}\bigtriangledown{T}-Q=0 \end{equation*}

Физический смысл коэффициентов, участвующих в уравнении (1), приведен в таблице 1.

Читать далее

О применении статического адаптивного разбиения расчётной области

Введение

Многие программные комплексы для проведения численных расчетов предоставляют пользователям возможность использования статического адаптивного (далее, просто адаптивного) шага при построении ортогональной гексаэдрической структурированной расчетной сетки. То есть, на основе собственного опыта, пользователь, желая получить более точный расчет и при этом существенно не увеличивая время расчета, может указать таким программам те места расчетной области, в которых необходимо, по его мнению, применить более детальное разбиение (использовать меньший шаг по пространству) по сравнению с остальной частью расчетной области.

При правильном применении, статическое адаптивное разбиение расчетной области является мощным инструментом в численных расчетах, увеличивая их точность. Однако в случае злоупотребления вышеописанной опцией может значительно увеличиться время расчета, а точность расчета существенно не изменится. В настоящей статье мы приводим теоретические преимущества и недостатки использования адаптивного разбиения расчетной области, а также даем два примера численных расчетов тепловых полей в грунте. В первом примере использование адаптивного шага является целесообразным, а во втором нет.

Читать далее

Квазилинейное уравнение теплопроводности в 3D и задача Стефана в вечномерзлых грунтах в рамках конечно-разностной схемы переменных направлений

Оригинал статьи на английском языке можно прочитать на сайте Международной ассоциации инженеров.

Аннотация — Произведено исследование квазилинейного уравнения теплопроводности, в котором теплопроводность и теплоемкость зависят от температуры в трех пространственных измерениях, применительно к задаче о фазовом переходе в вечномёрзлых грунтах. Явно сформулированы условия, при которых конечно-разностная схема переменных направлений Дугласа-Рекфорда сохраняет устойчивость. Произведено сравнение полученных численных решений с известным аналитическим решением задачи Стефана в одномерном пространстве.

Ключевые слова — квазилинейное уравнение теплопроводности, задача Стефана, конечные разности, схема переменных направлений, численная устойчивость.

I. Введение

Со времени своих первых формулировок, неявные методы переменных направлений (ADI) были достаточно хорошо разработаны и нашли широкое применение в разных областях. Тем не менее, серьёзные проблемы возникают с использованием этих методов в задачах со сложными геометриями расчетной области и/или с нелинейными уравнениями математической физики.

Хотя и доказано, что ADI методы являются эффективными и экономичными в отношении временных затрат, и, в большинстве случаев, безусловно устойчивыми, они обладают некоторыми недостатками:

1) Их конечно-разностные формулировки позволяют рассматривать только прямоугольные пространственные области (из-за требований коммутативности, накладываемых на факторизованные и расщепленные операторы) [7];

2) Применение ADI схем к задачам с изменяющимися во времени граничными условиями Неймана и Робина сталкивается с серьезными проблемами из-за необходимости определения этих граничных условий на промежуточных этапах схемы [8];

3) При применении к решению нелинейных уравнений теплопроводности, операторы, составляющие ADI схему, не коммутируют, что приводит к потере безусловной устойчивости схемы.

Первый из указанных выше недостатков можно преодолеть либо с помощью метода конечных элементов в сочетании с методами расщепления операторов, либо методами декомпозиции расчетной области.

Второй и третий недостатки представляют серьёзную проблему для успешного применения ADI схемы. Насколько нам известно, в настоящее время в литературе отсутствует анализ устойчивости схемы ADI применительно к нелинейному уравнению теплопроводности в трёхмерной пространственной области. Этот факт явился одним из оснований для настоящей работы.

Другой причиной для написания настоящей работы является применение ADI схемы к моделированию теплообмена в крупномасштабных экологических системах (например, для больших площадей многолетнемерзлых грунтов), которые в случае чисто явных конечно-разностных схем, накладывают жесткие ограничения на временной шаг для того, чтобы гарантировать устойчивость численного решения.

В то же время, реализация неявных схем зачастую приводит к гораздо большим вычислительным затратам, чем явные схемы, особенно для задач с быстро изменяющимися коэффициентами в сложных геометриях и существенно неоднородных сетках. Таким образом, при моделировании теплообмена в крупномасштабных системах возникает необходимость осуществления оптимального выбора между явными и неявными схемами. В случае метода конечных элементов, применительно к моделированию процессов в вечномерзлых грунтах, анализ численной устойчивости, кажется, настолько сложным, что критерий устойчивости часто устанавливается эмпирически [9].

В настоящей работе мы обсуждаем применение ADI схемы Дугласа - Рекфорда к решению задачи Стефана в пористых вечномёрзлых грунтах. Структура статьи следующая: следующий раздел содержит формулировку задачи и некоторые предположения, которые будут использоваться при доказательстве численной устойчивости ADI схемы, а в разделе 3 представлено само доказательство. В 4 разделе представлены численные результаты, за которыми следуют выводы.

Читать далее

Метод переменных направлений для нелинейного уравнения теплопроводности

Данная заметка посвящена обсуждению применения схемы Дугласа – Рекфорда для решения трехмерного нелинейного уравнения теплопроводности. Обсуждаются метод Ньютона – Рафсона и метод “замороженных коэффициентов”.

Прежде чем приступить к обсуждению подходов к решению нелинейного уравнения, дадим определение тому, что будем понимать под нелинейным уравнением.

Ниже будет рассматриваться уравнение теплопроводности, в котором теплоемкость и коэффициент теплопроводности зависят от температуры. Таким образом, коэффициенты, входящие в уравнение теплопроводности, оказываются зависящими от температуры:

, (1)
Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия. Граничные условия третьего рода

Вторая заметка посвящена обсуждению задания граничных условий третьего рода на гранях прямоугольной области моделирования и содержит описание алгоритма учета граничных условий 1-го и 3-го родов, заданных на различных гранях.

Прежде чем перейти к обсуждению используемой схемы Дугласа – Рекфорда, следует коротко остановиться на другой схеме метода переменных направлений – двумерной конечно-разностной схеме Писмана – Рекфорда.

Корректный учет промежуточных граничных условий первого и второго родов для схемы Писмана – Рекфорда был подробно рассмотрен в [1]. Существенное отличие трехмерной схемы Дугласа – Рекфорда от двумерной схемы Писмана – Рекфорда состоит в том, что в последнюю из упомянутых схем пространственные координаты входят симметрично. Таким образом, второе уравнение схемы Писмана – Рекфорда содержит конечно-разностные представления производных для обеих пространственных координат. Этот факт обусловливает громоздкость вывода соотношения между значениями неизвестной функции на различных гранях – см. детали в [1].

Несмотря на то, что схема Дугласа – Рекфорда спроектирована для трехмерной пространственной области, учет промежуточных граничных условий 3-го рода оказывается для нее более простым благодаря несимметричному вхождению производных по пространственным координатам в выражения (1) – (3):

, (1)
Читать далее

Конечно-разностная аппроксимация граничных условий второго и третьего рода для нелинейного уравнения теплопроводности

Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности

, (1)

где
, (2)

с начальным условием , и граничными условиями
, (3)

при . Если , то условие (3) является граничным условием второго рода, если же , то третьего.

Введём равномерные сетки в пространстве и времени:, , , .

Определим сеточные функции , , , , , , , .

Читать далее

Неявная схема переменных направлений и промежуточные граничные условия

Для решения многомерных задач, приводящих к уравнениям в частных производных параболического типа, широкое применение получил метод переменных направлений (ADI – alternate directions implicit method) [1]. Несмотря на то, что метод имеет давнюю историю и хорошо описан в учебной литературе, попытки его реализации порой оказываются неверными или неточными [2]. Неточность проявляется тогда, когда при учете граничных условий пренебрегается их задание на промежуточных временных шагах. Это пренебрежение может становиться причиной возникновения неустойчивостей даже в том случае, когда сама используемая схема является безусловно устойчивой по спектральному признаку [3]. Тому, как производить корректный учет промежуточных граничных условий для схемы Писмана - Рекфорда (Peaceman-Rachford), посвящены соответствующие разделы в [4, 5].

Ниже мы рассмотрим учет промежуточных граничных условий для схемы переменных направлений Дугласа - Рекфорда (Douglas-Rachford) [3]:
, (1) 
, (2) 
, (3) 
Читать далее