Конечно-разностная аппроксимация граничных условий второго и третьего рода для нелинейного уравнения теплопроводности

Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности

, (1)

где
, (2)

с начальным условием , и граничными условиями
, (3)

при . Если , то условие (3) является граничным условием второго рода, если же , то третьего.

Введём равномерные сетки в пространстве и времени:, , , .

Определим сеточные функции , , , , , , , .

При имеем
, . Чтобы найти при , воспользуемся неявной (о явной схеме см. замечание 2 ниже) разностной схемой
,
где . Она является обобщением предложенной в [1] схемы для не зависящих от x коэффициентов уравнения (1). Предположим, что частные производные , ограничены, а функции

(4)

раскладываются на всей области по формуле Тейлора с остаточными членами , и соответственно. Используя условия (2) и проводя рассуждения, аналогичные приведённым ниже, можно доказать погрешность аппроксимации схемы .

Для аппроксимации теплового потока в левом граничном условии (3) можно было бы воспользоваться правой разностной производной
. (5)

При этом погрешность аппроксимации имела бы лишь первый порядок по пространству.

Универсальным способом повышения этого порядка является введение фантомного (призрачного, воображаемого, фиктивного) узла [2, 3] вне области моделирования (см. рис. 1) и использования центральной разностной производной .

 

Рис. 1. Фантомный узел x_1

Возможен также подход, основанный на учёте уравнения теплопроводности для граничного узла. В [4] этот подход применён к линейному уравнению теплопроводности с постоянными коэффициентами. Ниже мы обобщим его на случай нелинейного уравнения теплопроводности.

Зафиксируем момент времени , . Перепишем условие (3), используя последнее из обозначений (4):

. (6)

Построим разностную аппроксимацию с погрешностью . Из разложения Тейлора при имеем
. (7)

Займёмся выводом разностных аппроксимаций и для их последующей подстановки в (7).

По определению
. (8)

По формуле Тейлора , откуда . Это равносильно тому, что аппроксимирует множитель в (8) с погрешностью . В то же время для второго множителя выполнено . Используя предположенную ранее ограниченность и заданную в условии (2) ограниченность K (T), из равенства (8) имеем

  (9)

Осталось аппроксимировать . По определению . Используя уравнение теплопроводности (1), заменим правую часть последнего равенства:

. (10)

По аналогии с выводом из (8) равенства (9), получим из (10) равенство

. (11)

Подставим аппроксимации (9) и (11) в равенство (7), а результат этой подстановки – в граничное условие (6). Пренебрегая слагаемыми порядка , окончательно будем иметь

. (12)

При это совпадает с результатом [4].

Перепишем условие (12) в виде


(13)

Замечание 1. Из (13) видно, что коэффициент при превосходит абсолютную величину коэффициента при . Это обеспечивает строгое диагональное преобладание [5] матрицы системы разностных уравнений.

Замечание 2. Аппроксимация (13) подходит для использования с явной разностной схемой. Также можно по аналогии с [4] использовать соотношение
. (14)

Погрешность аппроксимации и в этом случае составит .

Литература
1. А. А. Самарский. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977.
2. T. J. Chung. Computational fluid dynamics. – Cambridge: Cambridge University Press, 2002.
3. Н. Н. Калиткин. Численные методы. – М.: Наука, 1978.
4. А. А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. – М.: Наука, 1971.
5. Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. – М.: Мир, 1989.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *


*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>